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I CAPPELLI COLORATI

Tre turisti vengono rapiti da una banda di criminali con l’hobby degli enigmi. Il capo della banda decide di liberarli solo se si dimostrano sufficientemente intelligenti. Mostra loro tre cappelli rossi e due cappelli bianchi. Poi li benda e pone sulla testa di ognuno un cappello rosso. Una volta sbendati ogni ostaggio può vedere il cappello sulla testa degli altri ma non il proprio.
Chiede al primo: “Di che colore è il cappello che hai sulla testa?”. Il primo osserva gli altri due e risponde che non lo sa.
Chiede al secondo: “Di che colore è il cappello che hai sulla testa?”. Il secondo osserva gli altri due e risponde che non lo sa.
Chiede al terzo: “Di che colore è il cappello che hai sulla testa?”. Il terzo risponde esattamente dicendo che il proprio cappello è rosso salvando la vita a tutti e tre.
Come ha fatto a saperlo?

Nota: Si supponga che i tre siano dei logici perfetti, cioè siano in grado di dedurre istantaneamente tutte le conseguenze da un insieme di premesse dato.

COLORED HATS

Three tourists are kidnapped by a gang of criminals with the puzzle hobby. The gang leader decides to release them only if they prove intelligent enough. Show them three red hats and two white hats. Then he bandages them and places a red hat on everyone’s head. Once disbanded, each hostage can see the hat on the heads of others but not his own. He asks the first: “What color is the hat you have on your head?”. The first observes the other two and replies that he doesn’t know. He asks the second: “What color is the hat you have on your head?”. The second looks at the other two and replies that he doesn’t know. He asks the third: “What color is the hat you have on your head?”. The third responds exactly by saying that his hat is red saving the lives of all three. How did you know?

Note: Suppose that the three are perfect logicians, that is, they are able to instantly deduce all the consequences from a given set of premises.

La risposta al quiz di ieri (il giro intorno al mondo)/The answer to yesterday’s quiz (flight around the world):

Soluzione: Sono sufficienti 3 aerei. I tre aerei A , B e C partono insieme ed arrivati ad 1/8 di giro C trasferisce ad A e B un quarto di serbatoio ciascuno, a C ne rimane un quarto giusto giusto per tornare indietro. Arrivati ad 1/4 di giro B trasferisce ad A un quarto di serbatoio e gliene rimane metà per poter tornare indietro. C , dopo aver fatto il pieno , torna nel senso opposto del giro verso A. Quando A arriva a 3/4 di giro C gli trasferisce un quarto di serbatoio, contemporaneamente parte B raggiungendo A e C esattamente a 7/8 del giro. Dà a ciascuno dei due un quarto di serbatoio e arrivano tutti e tre all’isola in riserva sparata ma sani e salvi.

Solution: 3 planes are enough. The three planes A, B and C leave together and arrived at 1/8 of a turn C transfers to A and B a quarter of each tank, to C there is a quarter just right to go back. Arrived at 1/4 turn B transfers to A quarter of a tank and remains half of it to be able to go back. C, after filling up, returns in the opposite direction of the turn to A. When A arrives at 3/4 of a turn C transfers a quarter of his tank, at the same time he leaves B reaching A and C exactly at 7/8 of the turn. He gives each of the two a quarter of a tank and all three arrive at the island in the reserve fired but safe and sound.

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IL VOLO ATTORNO AL MONDO

Un gruppo di aerei è dislocato su una piccola isola. Il serbatoio di ogni aereo contiene esattamente carburante sufficiente a consentirgli mezzo giro del mondo, ma è possibile trasferire quanto carburante si vuole dal serbatoio di un aereo a quello di un altro mentre gli aerei sono in volo. La sola fonte di carburante è sull’isola e si suppone che non venga perduto tempo nel rifornimento sia in aria che al suolo. Qual è il numero minimo di aerei necessario per assicurare il volo di uno di essi per un giro completo attorno al mondo, ammettendo che gli aerei abbiano la stessa velocità costante rispetto al suolo, lo stesso consumo di carburante e che tutti gli aerei rientrino sani e salvi alla base?

FLIGHT AROUND THE WORLD

A group of planes is located on a small island. The tank of each plane contains exactly enough fuel to allow it to travel halfway around the world, but you can transfer as much fuel as you want from one tank to another while the planes are in flight. The only source of fuel is on the island and it is assumed that no time is lost in refueling both in the air and on the ground. What is the minimum number of planes necessary to ensure the flight of one of them for a complete tour around the world, assuming that the planes have the same constant speed compared to the ground, the same fuel consumption and that all planes return healthy and do you save at the base?

La risposta al quiz di ieri (il numero più grande)/The answer to yesterday’s quiz (the largest number):

Soluzione: Il numero è 9⁹ ovvero 387.420.489.

Solution: The number is 9⁹ or 387.420.489.

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IL NUMERO PIU’ GRANDE

Qual è il numero più grande che è possibile scrivere utilizzando solo due cifre (senza altri simboli matematici)?

THE LARGEST NUMBER

What is the largest number that can be written using only two digits (without other math symbols)?

La risposta al quiz di ieri (frequenza 2)/The answer to yesterday’s quiz (frequency):

Soluzione: La cifra meno frequente è 0,

La cifra 0, è quella che compare meno volte, nonostante ne siano presenti ben tre nel numero 1.000, in quanto nella posizione delle decine e delle centinaia lo zero non significativo viene omesso. Più precisamente la cifra 0 compare complessivamente 192 volte nei numeri da 1 a 1.000, di cui 100 volte nella posizione delle unità, 91 volte nella posizione delle decine e 1 volta nella posizione delle centinaia.

Solution: The less frequent digit is 0,

The figure 0 is the one that appears less times, despite the fact that there are three in the number 1,000, since in the position of the tens and hundreds the non-significant zero is omitted. More precisely, the figure 0 appears a total of 192 times in the numbers from 1 to 1,000, of which 100 times in the position of the units, 91 times in the position of the tens and 1 time in the position of the hundreds.

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FREQUENZA (2)

Quale cifra compare meno frequentemente considerando i numeri da 1 a 1.000 (inclusi)?

FREQUENCY (2)

Which figure appears less frequently considering the numbers from 1 to 1,000 (included)?

La risposta al quiz di ieri (frequenza)/The answer to yesterday’s quiz (frequency):

Soluzione: La cifra più frequente è 1,

Considerando i numeri da 1 a 999, si può facilmente intuire che le cifre da 1 a 9 devono comparire tutte lo stesso numero di volte, in quanto:

• nella posizione delle unità ciascuna cifra compare ogni 10 numeri per un totale di 100 volte (es. la cifra 1 compare in 1, 11, 21, …, 991)
• nella posizione delle decine (quindi da 10 in su) ciascuna cifra compare per 10 volte consecutive ogni 100, anche qui per un totale di 100 volte (es. la cifra 1 compare in 10, 11, 12, 13, …, 911, 912, 913, …, 919)
• nella posizione delle centinaia (quindi da 100 in su) ciascuna cifra compare per 100 volte consecutive (es. la cifra compare in 100, 101, 102, …, 199)

Visto che il problema include anche il numero 1.000, si deduce che la cifra 1 compare una volta in più rispetto alle cifre da 2 a 9. Più precisamente la cifra 1 compare 301 volte, mentre le cifre da 2 a 9 compaiono 300 volte.

Solution: The most frequent digit is 1,

Considering the numbers from 1 to 999, it can be easily understood that the figures from 1 to 9 must all appear the same number of times, since:

• in the position of the units each digit appears every 10 numbers for a total of 100 times (e.g. the digit 1 appears in 1, 11, 21,…, 991)

• in the position of the tens (therefore from 10 upwards) each figure appears 10 consecutive times every 100, also here for a total of 100 times (e.g. the figure 1 appears in 10, 11, 12, 13, …, 911, 912 , 913, …, 919)

• in the hundreds position (therefore from 100 upwards) each figure appears 100 consecutive times (e.g. the figure appears in 100, 101, 102, …, 199)

Since the problem also includes the number 1,000, it is deduced that the digit 1 appears once more than the digits from 2 to 9. More precisely, the digit 1 appears 301 times, while the digits from 2 to 9 appear 300 times.